Quantification

Objectifs

• Définir et différencier les quantificateurs universelles et existentielles.
• Trouver l'équivalence entre une quantification et sa négation.

Cours

Quantification

Enjeux de société

Règles d'inférence

Permet de déduire (inférer) une nouvelle proposition à partir de propositions déjà connues, par exemples :

• Modus ponens : { A → B, A } ⊢ B

• Modus tollens : { A → B, non B } ⊢ non A

• Syllogisme hypothétique : { A → B, B → C } ⊢ A → C

• Syllogisme disjonctif : { A ou B, non A } ⊢ B

Modus ponens

• { A → B, A } ⊢ B

• A : Il pleut.
  B : Le sol est mouillé.

• Si il pleut, alors le sol est mouillé.
  Il pleut.
  Donc le sol est mouillé.

Modus tollens

• { A → B, non B } ⊢ non A

• { non B → non A, non B } ⊢ non A

• A : Il pleut.
  B : Le sol est mouillé.

• Si il pleut, alors le sol est mouillé.
  Le sol n'est pas mouillé.
  Donc il ne pleut pas.

Syllogisme hypothétique

• { A → B, B → C } ⊢ A → C

• A : Il pleut.
  B : Le sol est mouillé.
  C : Le sol est glissant.

• Si il pleut, alors le sol est mouillé.
  Si le sol est mouillé, alors le sol est glissant.
  Donc s'il pleut, alors le sol est glissant.

Syllogisme disjonctif

• { A ou B, non A } ⊢ B

• A : Il pleut.
  B : Il fait beau.

• Il pleut ou il fait beau.
  Il ne pleut pas.
  Donc il fait beau.

• Où est l'erreur ?

• Ce n'est pas manichéen : il peut y avoir d'autres possibilités que A ou B, par exemple : il neige.

• L'erreur de raisonnement se trouve dans "Il pleut ou il fait beau.".

Arbre de preuve

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9duction_naturelle

Déduire la proposition "le sol est glissant" à partir des propositions suivantes :

• Si le sol est mouillé, alors le sol est glissant.

• Si il pleut, alors le sol est mouillé.

• Il pleut.

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9duction_naturelle

Exercice

Les conclusions suivantes sont-elles valides ?

• Les humains sont mortels.
  Les Athéniens sont des humains.
  Donc les Athéniens sont mortels.

  • Vrai, syllogisme hypothétique.

• Les criminels sont contre le gouvernement.
  Les membres de l'opposition sont contre le gouvernement.
  Donc les membres de l'opposition sont des criminels.

  • Faux, pas de règle d'inference qui lie les deux.

Exercice

"Un chat tricolore est toujours une femelle."

• tricolore → femelle ?

• tricolore ← femelle ?

• tricolore ↔ femelle ?

Exercice

Tricolore	Femelle	t ↔ f	t ← f	t → f
Non	Non	Possible	Possible	Possible
Non	Oui	Impossible	Impossible	Possible
Oui	Non	Impossible	Possible	Impossible
Oui	Oui	Possible	Possible	Possible

Quantification

• Quantification universelle

  • "Pour tout …" ou "Quel que soit …"

  • Exemple : Tous les humains sont mortels.

• Quantification existentielle

  • "Il existe …" ou "Il y a …"

  • Exemple : Il existe un poisson volant.

Négation de quantification

• Tous les humains sont mortels.

  • Il n'existe pas d'humain immortel.

• Il existe un poisson volant.

  • Pas tous les poissons ne volent pas.

• Règles

  • "Pour tout …" est équivalent à "Il n'existe pas de non …"

  • "Il n'existe pas …" est équivalent à "Tous les … ne sont pas …"

Exercice

Donner la négation de chaque proposition.

• Tous les chats tombent sur leurs pattes.

  • Il n'existe pas de chat qui ne tombe pas sur ses pattes.

• Il existe un chat qui ne tombe pas sur ses pattes.

  • Pas tous les chats tombent sur leurs pattes.

• Il existe un mammifère qui pond des œufs.

  • Pas tous les mammifères ne pondent pas d'œufs.

• Pas tous les oiseaux savent voler.

  • Il existe un oiseau qui ne sait pas voler.

Quiz

La grande majorité des hirondelles sont bleues.

1. Il existe une hirondelle blanche.

2. Tout ce qui est bleu n'est pas une hirondelle.

3. Il existe une hirondelle bleue.

4. Aucune des réponses n'est correcte.

Réponse : 3. Il existe une hirondelle bleue.

Quiz

Un congrès international d'astronaute a lieu à Lausanne. Les astronautes américains portent tous une chemise bleue.

• On voit un astronaute américain qui porte un manteau. Porte-t-il une chemise bleue ?

  • Oui, car américain → bleu

• Le haut-parleur annonce l'arrivée d'un astronaute russe. Porte-t-il une chemise bleue ?

  • Peut-être, on ne sait pas.

• On voit une astronaute qui porte une chemise blanche. Est-elle astronaute américaine ?

  • Non, car américain → bleu, donc pas bleu → pas américain

• À côté de la personne précédente, on voit une astronaute qui porte une chemise bleue. Est-elle astronaute américaine ?

  • Peut-être, on ne sait pas.

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Exercices

Arbres de déduction

Construire l'arbre de déduction pour les propositions suivantes :

• Si je vais à la montagne, alors je vais faire de la randonnée.
• Je ne vais pas faire de la randonnée.

Peut-on déduire si je vais à la montagne ou pas ?

Solution

En appliquant le modus tollens, on peut en déduire que je ne vais pas à la montagne :

$$\frac{\text{"aller à la montagne"} \rightarrow \text{"faire de la randonnée"} \qquad \text{non "faire de la randonnée"}}{\text{non "aller à la montagne"}}$$

• Soit je vais skier, soit je vais faire de la raquette.
• Je ne vais pas skier.
• Je vais à la montagne si je fais de la raquette.
• Je vais skier seulement si je vais à la montagne.

Peut-on déduire si je vais à la montagne ou pas ?

Solution

En appliquant le syllogisme disjonctif puis le modus ponens, on peut en déduire que je vais à la montagne :

$$\frac{\frac{\text{"skier" ou "raquette"} \qquad \text{non "skier"}}{\text{"raquette"}} \qquad \text{"raquette"} \rightarrow \text{"montagne"}}{\text{"montagne"}}$$

• Je mets un pull seulement si j'ai froid.
• Je sui enrhumé·e si je suis à la montagne.
• Si je ne mets pas de pull, alors je ne suis pas à la montagne.
• Je vais à la montagne.

Peut-on déduire si j'ai froid ou pas ?

Solution

En appliquant le syllogisme hypothétique puis le modus ponens, on peut en déduire que j'ai froid :

"Si je ne mets pas de pull, alors je ne suis pas à la montagne." est équivalent à "Si je suis à la montagne, alors je mets un pull."

$$\frac{\text{"montagne"} \qquad \frac{\text{"montagne"} \rightarrow \text{"pull"} \qquad \text{"pull"} \rightarrow \text{"froid"}}{\text{"montagne"} \rightarrow \text{"froid"}}}{\text{"froid"}}$$

Raisonnement déductif

Modéliser le raisonnements suivants à l'aide des règles d'inférence. Est-ce que la conclusion est-elle valide ? Qu'est-ce qu'il faudrait changer pour que la conclusion soit valide ?

Prémisses :

• Tous les chats sont mortels.
• Socrate est mortel.

Conclusion :

• Donc Socrate est un chat.

Solution

Prémisses :

• chat → mortel
• Socrate → mortel

Conclusion :

• Socrate → chat ?

Pour que la conclusion soit valide, il faudrait avoir la prémisse chat ← mortel

Négation de quantificateur

Trouvez les négations des quantificateurs suivants :

Il existe un mammifère qui pond des œufs.

Solution

Pas tous les mammifères ne pondent pas d'œufs.

Pas tous les arbres perdent leurs feuilles en hiver.

Solution

Il existe un arbre qui ne perd pas ses feuilles en hiver.

Il n'existe pas d'êtres vivants immortels.

Solution

Tous les êtres vivants sont mortels.

Tous les poissons ont des arêtes.

Solution

Il n'existe pas de poisson sans arêtes.

Pour aller plus loin

• Monsieur Phi - Comment démontrer n'importe quoi

Références

• https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9duction_naturelle
• https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_d%C3%A9ductif
• https://fr.wikipedia.org/wiki/Quantification_(logique)